Problema de la semana: los camaleones
Aquí os dejo el problema de esta semana. Al final del artículo encontraréis la solución al problema de la semana pasada.
Los camaleones
En una isla sólo viven camaleones. Como todos sabemos, los camaleones son animales que cambian de color para camuflarse con el entorno. En esta isla, sin embargo, sólo hay camaleones de tres colores diferentes. Había 20 camaleones verdes, 19 camaleones rojos y 18 amarillos. Además, sólo cambian de color en caso que exactamente dos camaleones de colores distintos se encuentren, momento en el que ambos adoptan el tercer color. Por ejemplo, si se encuentran un camaleón rojo y otro verde, ambos pasan a ser amarillos.
¿Puede darse el caso que en algún momento sólo haya camaleones de un único color?
A por él, que no es difícil.
Solución al problema de la semana pasada
La semana pasada nos preguntábamos cuántos ceros tiene el número $$1000!$$.
La solución correcta la dio Spin en el segundo comentario. La idea intuitiva es sumar cuántos $5$ tenemos en $1000!$, pues cada $5\cdot2$ nos proporciona un $0$, y tenemos $2$ de sobra. Dado un número natural $n$, la fórmula cerrada en general para contar el número de $0$ en los que acaba $n!$ es la siguiente:
$$\sum_{k\geqslant1}\Big\lfloor\frac{n}{5^k}\Big\rfloor$$
donde $$\lfloor x\rfloor$$ denota la parte entera inferior de $x$. Observemos que, aunque en principio no lo parece, es una suma finita, pues para algún valor de $k$, tendremos $n<5^k$, y por tanto su parte entera inferior será nula. Aplicándolo a nuestro caso:
$$\sum_{k\geqslant1}\Big\lfloor\frac{1000}{5^k}\Big\rfloor = \Big\lfloor\frac{1000}{5}\Big\rfloor + \Big\lfloor\frac{1000}{25}\Big\rfloor + \Big\lfloor\frac{1000}{125}\Big\rfloor + \Big\lfloor\frac{1000}{625}\Big\rfloor + 0 \ldots = 200 + 40 + 8 + 1 = 249$$
Por tanto, la respuesta correcta era 249.
Escrito en 28/10/09 09:30 por Pere Daniel Prieto en las categorías: Matemáticas, Problemas
