Problema de la semana: ecuación exponencial
A continuación os dejo el problema de esta semana y, al final del artículo, la solución al problema de la semana pasada
Ecuación exponencial
Hallar las soluciones enteras positivas no triviales de la ecuación:
$$x^y=y^x$$
Se entiende por solución trivial toda solución del tipo $$x=y$$.
Solución al problema de la semana pasada
La semana pasada os presenté una curiosa isla con camaleones de tres colores diferentes. En dicha isla, había 20 camaleones verdes, 19 rojos y 18 amarillos, que únicamente cambiaban de color en caso que dos camaleones de colores diferentes se encontraran, cambiando ambos al tercer color.
Como comentó Carlos Luna en su comentario, se trata de paridad. En particular, se trata de fijarse en la paridad módulo 3. Si nos fijamos en el número inicial de camaleones, podemos observar lo siguiente:
Número de camaleones verdes: $$20=2+18=2+6\cdot3\equiv2 \mod3$$
Número de camaleones rojos: $$19=1+18=1+6\cdot3\equiv1 \mod3$$
Número de camaleones amarillos: $$18=0+18=0+6\cdot3\equiv0 \mod3$$
Es decir, que la paridad inicial de los camaleones, si nos fijamos únicamente en el resto de dividir por 3 (lo que en matemáticas llamamos habitualmente congruencias módulo 3), es {2,1,0}. Sin embargo, la forma de cambiar de estos camaleones no altera esta paridad, dado que se trata de restar una unidad a dos de esas paridades, pero sumar dos unidades a la tercera, lo que nos da una suma total limpia de 0 unidades en el sistema completo. El orden se verá probablemente alterado, pero siempre tendremos que los camaleones de un cierto color tienen paridad 2, los de otro color paridad 1 y los últimos paridad 0.
Por tanto, ¿cuál es el peor caso que nos podemos encontrar? En el peor caso, debido a que la paridad {2,1,0} debe mantenerse, los camaleones de un color determinado se habrán “extinguido” (paridad 0), habrá otro color con un único camaleón “superviviente” (paridad 1) y los 56 camaleones restantes serán del tercer color ($$56=2+54=2+18\cdot3$$, y por tanto paridad 2).
Así pues, la respuesta correcta a la pregunta era “No, no puede darse el caso que haya camaleones de un único color”.
Escrito en 04/11/09 09:30 por Pere Daniel Prieto en las categorías: Matemáticas, Problemas
