Problema de la semana: la pasión desatada
Después de un pequeño descanso en la publicación de nuevos problemas por motivos ajenos al blog, volvemos a la carga con esta sección semanal. A continuación encontraréis el problema de esta semana, y al final del artículo la solución al problema anterior.
La pasión desatada
Resolved la siguiente ecuación:
$\sqrt{PASSION}=KISS$
donde cada letra es una cifra distinta.
Solución al último problema
El último problema que propuse trataba de buscar un número que cumpliera unas relaciones muy concretas. Observemos que, de hecho, dichas relaciones pueden formalizarse con aritmética modular del siguiente modo:
Sea $x$ el número que estamos buscando. Entonces, $x$ satisface el siguiente sistema de congruencias:
$x\equiv1\mod2$
$x\equiv2\mod3$
$x\equiv3\mod4$
$x\equiv4\mod5$
$x\equiv5\mod6$
$x\equiv6\mod7$
$x\equiv7\mod8$
$x\equiv7\mod9$
que es totalmente equivalente al sistema siguiente:
$x\equiv-1\mod2$
$x\equiv-1\mod3$
$x\equiv-1\mod4$
$x\equiv-1\mod5$
$x\equiv-1\mod6$
$x\equiv-1\mod7$
$x\equiv-1\mod8$
$x\equiv-1\mod9$
Por lo tanto, el número $x$ que estamos buscando debe satisfacer la siguiente congruencia:
$x+1\equiv0 \mod mcm(2,3,4,5,6,7,8,9)$
Donde $mcm$ es el mínimo común múltiplo. Como buscamos el mínimo número que la satisface, se deduce
$x+1=mcm(2,3,4,5,6,7,8,9)$
Por lo tanto, basta con calcular el mínimo común múltiplo de los números del 2 al 9, lo cual puede hacerse de forma sencilla a mano, obteniendo 2520, por lo que el número pedido era $x=2519$
Escrito en 02/12/09 09:30 por Pere Daniel Prieto en las categorías: Matemáticas, Problemas
