Conjuntos de números
En matemáticas, los conjuntos de números son unos de los objetos más primordiales que existen. No tanto por sus propiedades, que también son importantes y las usamos a menudo, sino más bien por lo cómodos que nos sentimos al trabajar en ellos. De hecho, los conjuntos de números proporcionan una excelente base de ejemplos sencillos para gran cantidad de estructuras que vemos en la carrera, e incluso están presentes como trasfondo cuando trabajamos con estructuras más complejas.
Como todo en matemáticas, los conjuntos de números pueden definirse de una multitud de maneras distintas, algunas más complicadas que otras. Sin embargo, también tienen una construcción intuitiva y fácilmente comprensible sin necesidad de grandes conocimientos matemáticos. En este artículo daremos una construcción intuitiva de los conjuntos de números, partiendo de los números naturales hasta llegar a los números racionales (los números reales y complejos los dejo para un futuro artículo, pues su construcción no es tan intuitiva).
Para ello, únicamente necesitaremos las cuatro operaciones básicas: sumar, restar (que entenderemos como sumar el opuesto), multiplicar y dividir (que entenderemos como multiplicar por el inverso), así como la noción de lo que es una ecuación polinómica.
Empecemos por definir los números naturales. El conjunto de los números naturales, que denotaremos con el símbolo $$\mathbb{N}$$, se define como un conjunto inductivo, es decir, un conjunto que cumple las dos propiedades siguientes:
- $$1\in\mathbb{N}$$
- Si $$n\in\mathbb{N}$$, entonces $$n+1\in\mathbb{N}$$
Donde al escribir $n+1$ nos referimos el elemento que sigue a $n$. Observemos que, con la definición que acabo de dar, $0$ no es un elemento de $\mathbb{N}$. Esto suele ser motivo de discusión incluso entre matemáticos, pues algunos consideran que el número $0$ sí es natural. Para mí, los números naturales son los que he definido arriba.
Los números naturales, aunque son un conjunto bastante simple, gozan de algunas propiedades que los hacen muy interesantes. Una de las más notables es que podemos comparar números naturales. Es decir, dados dos números naturales $n$ y $m$, siempre podemos decir que $n$ es menor o igual que $m$, o que $m$ es menor o igual que $n$. Esta relación, de hecho, cumple las propiedades que se requieren para que $\mathbb{N}$ sea un conjunto totalmente ordenado (de hecho, es un conjunto bien ordenado, dado que tiene un elemento mínimo).
A pesar de ello, los números naturales son algo pobres. Por ejemplo, dados dos números naturales $a$ y $b$, la siguiente ecuación:
$$x+a=b$$
no tiene solución natural en $x$ si $b\leqslant a$, pues en los números naturales no hay números negativos ni el $0$. Para hacer que estas ecuaciones siempre tengan solución se introducen los números enteros. Definimos el conjunto de los números enteros como $$\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup-\mathbb{N}\cup\{0\}$$. Es decir, a los números naturales les añadimos el 0 y un número negativo por cada número natural. Con esto, todas las ecuaciones anteriores con $a$ y $b$ enteros tienen solución entera en $x$.
Los números enteros forman un conjunto que nos da mucho más juego que los números naturales. Siguen siendo un conjunto totalmente ordenado con el orden “menor o igual” (pero dejan de ser un conjunto bien ordenado, pues ya no hay elemento mínimo), y podemos dotarlo de diversas estructuras matemáticas al definir operaciones entre los números naturales.
Con la operación “suma” (que denotamos “+”), el conjunto de $\mathbb{Z}$ queda dotado de estructura de grupo) abeliano. Si, además, le añadimos la operación “producto” (que denotamos “·”), $\mathbb{Z}$ se convierte en un anillo) conmutativo unitario. Intuitivamente, significa que podemos sumar, restar y multiplicar (pero no dividir) números enteros como nos enseñaron en nuestra más tierna infancia.
Sin embargo, los números enteros no son todo lo satisfactorios que desearíamos pues, de nuevo, hay ecuaciones a valores enteros que no tienen solución entera. Una ecuación del tipo
$$a\cdot x + b = c$$
con $a$, $b$ y $c$ números enteros no tiene solución entera en $x$ si $c-b$ no es divisible por $a$. Para que este tipo de ecuaciones siempre tenga solución, se define el conjunto de números racionales como:
$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z},\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \mbox{ si } a\cdot d = c\cdot b \right\}$$
Observemos que en este conjunto, todas las ecuaciones que hemos descrito previamente tienen solución racional en $x$. De hecho, $$\mathbb{Q}$$ es lo que en matemáticas se denomina un cuerpo), es decir, una estructura en la que podemos sumar, restar y multiplicar (como un anillo), y también dividir por cualquier elemento diferente de 0.
Sin embargo, ¿toda ecuación polinómica tiene solución en el conjunto de los números racionales $$\mathbb{Q}$$? La respuesta es, por desgracia, negativa. Por ejemplo, tomemos la siguiente ecuación de segundo grado:
$$x^2-2=0$$
cuyas soluciones son claramente $$\pm\sqrt{2}$$, pero $$\sqrt{2}$$ no es un número racional. De hecho, se puede demostrar que para todo número natural $$n\geqslant2$$, existe un polinomio $$f(x)$$ de grado $n$ con coeficientes en los números racionales y tal que la ecuación $$f(x) = 0$$ no tiene soluciones racionales.
Así pues, después de todo el artículo, lo más natural que podríamos pensar ahora mismo sería: Si a los números racionales les añadimos todas las soluciones de las ecuaciones $$f(x)=0$$ para cualquier polinomio $$f(x)$$, podemos obtener los números reales, es decir, seguimos la misma construcción que hemos seguido a lo largo del artículo. Sin embargo, si usamos este proceso con los números racionales, el conjunto que obtenemos no se parece en nada a los números reales $$\mathbb{R}$$, ni tampoco a los números complejos $$\mathbb{C}$$.
La cuestión es que hay polinomios a coeficientes en los números racionales que tampoco tienen solución en los números reales: las ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo. Y también hay números reales que no son solución de ninguna ecuación de las que hemos descrito: los llamados números trascendentes (por ejemplo, $$\pi$$ es trascendente).
Así pues, ¿cómo se construyen los números reales y, a partir de estos, los complejos? Esto lo dejo para un futuro artículo, pues la construcción de los números reales y de los números complejos difiere bastante en lo que hemos hecho en este artículo, y requiere algo de maquinaria más potente.
Espero que este artículo haya dado una visión intuitiva de los números que usamos a diario y, sobretodo, que ayude un poco a hacer perder el miedo a las matemáticas que tiene la mayor parte de la población. Al fin y al cabo, las matemáticas pueden ser muy difíciles, pero muchos conceptos, bien explicados, pueden entenderse de forma intuitiva.
Escrito en 06/11/09 09:53 por Pere Daniel Prieto en las categorías: Matemáticas,
